A continuación te voy a explicar las operaciones con intervalos. Veremos cómo se realiza la unión y la intersección de intervalos. Todo ello con ejercicios resueltos paso a paso.
Si has llegado hastaaquí es porque quieres aprender a resolver algún ejercicio. ¿Has pensado en apuntarte aclases de matemáticas online?. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverloo que te despejealguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi métodoparaenseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
QUIERO APRENDER MATEMÁTICAS
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
¡Empezamos!
Índice de Contenidos
Unión de intervalos
¿Qué es la unión de dos intervalos?
La unión de dos intervalos A y B es el conjunto de todos los números que están en el intervalo A o bien están en el intervalo B o bien están en los dos intervalos a la vez.
Se representa con el símbolo∪. Por ejemplo, la unión de dos intervalos se puede representar así:
Cómo calcular la unión de dos intervalos
Vamos a ver ahora cómo calcular la unión de dos intervalos al mimos tiempo que resolvemos unos ejemplos.
Empezamos por el primero:
En primer lugar, representamos el primer intervalo (-5,0] en la recta numérica. El primer intervalo comienza en -5, abierto por la izquierda, luego se representa un punto vacío y termina en 0, cerrado por la derecha, por lo que se representa con un punto lleno:
Ahora, en la misma recta, representamos el segundo intervalo (-1,∞), que comienza en -1 con un punto vacío ya que está abierto por la izquierda y termina es infinito, que siempre es un intervalo abierto y por tanto no se incluye en el intervalo:
La unión de estos dos intervalos corresponde con la parte de la recta que se queda coloreada, bien del primer intervalo (rojo), bien del segundo intervalo (azul) o por los dos intervalos (rojo y azul).
La parte coloreada de algún color empieza en -5 con un punto vacío, por lo que será abierto por la izquierda y termina en infinito, que al ser infinito queda abierto por la derecha:
Nota: Date cuenta que el -1, está vacío por el segundo intervalo, pero queda relleno por el primer intervalo, y por tanto pertenece a la unión.
Vamos a ver otro ejemplo de unión de intervalos:
Representamos el primer intervalo [-1,3) en la recta numérica: Está cerrado por la derecha, por lo que ponemos un punto lleno en -1 y abierto por la izquierda, por lo que en -3 corresponde un punto vacío:
Representamos el segundo intervalo (2,4) en la misma recta. Es un intervalo abierto, por lo que empieza en 2 con un punto vacío y termina en 4 con otro punto vacío:
La unión de los dos intervalos es la parte de la recta que se queda coloreada de algún color (o de ambos). En este caso empieza en -1 con un punto lleno y termina en 4 con un punto vacío, por tanto, el intervalo será cerrado por la izquierda y abierto por la derecha:
Unión de intervalos separados
Hay casos donde los intervalos están separados en la recta real, como por ejemplo el siguiente:
Si representamos ambos intervalos en la recta numérica nos queda:
En este caso, la unión de intervalos no puede expresarse en un sólo intervalo, por lo que sigue siendo la unión de dos intervalos y no puede expresarse de otra forma:
Intersección de intervalos
¿Qué es la intersección de dos intervalos?
La intersección de dos intervalos A y B es el conjunto de todos los números que es comúnen el intervalo A y en el intervalo B.
Se representa con el símbolo ∩. Por ejemplo, la intersección de dos intervalos se puede representar así:
Cómo calcular la intersección de dos intervalos
Para calcular la intersección de dos intervalos, primero representamos ambos en la misma recta numérica y una vez representados, la intersección de intervalos corresponderá con la parte de la recta en la que coinciden los dos intervalos.
Por ejemplo, vamos a calcular la intersección de los siguientes intervalos:
Representamos el primer intervalo (-4,3] en la recta, que comienza en -4 con un punto vacío y termina en 3 con un punto lleno, ya que está abierto por la izquierda y cerrado por al derecha:
En la misma recta representamos el segundo intervalo (0,2], que comienza en 0 con un punto vacío y termina en 2 con un punto lleno, al estarabierto por la izquierda y cerrado por al derecha:
La parte donde coinciden ambos intervalos, es decir, que primero hemos pintado de rojo y después de azul, será la intersección de los intervalos. Es decir, es la parte donde coinciden los dos colores.
En nuestro caso, el tramo donde coinciden los dos intervalos empieza en 0 y termina en 2. El 0 está coloreado por el primer intervalo, pero tiene un punto vacío por el segundo intervalo, luego no es común a los dos intervalos y por tanto se queda fuera de la intersección, por lo que lo dejamos abierto por la izquierda.
El 2 está coloreado por el primer intervalo y tiene un punto lleno por el segundo intervalo, luego es común a ambos intervalos y por tanto, lo incluimos en la intersección cerrándolo con un corchete por la derecha.
Por tanto, la intersección de intervalos es:
Vamos a ver otro ejemplo:
Representamos el primer intervalo [-2,2), que empieza en -2 con un punto lleno y termina en 2 con un punto vacío, al ser un intervalo cerrado por la derecha y abierto por la izquierda:
En la misma recta numérica representamos el segundo intervalo (1,4) que empieza en -1 con un punto vacío y termina en 4 con otro punto vacío, al ser un intervalo abierto:
La intersección de intervalos es la parte común a los dos intervalos. En este caso, la parte común empieza en 1 y termina en 2.
El 1 está relleno por el primer intervalo, pero hay un punto vacío por el segundo intervalo, luego no es común a los dos y por tanto se queda abierto por la izquierda.
El 2 tiene un punto vacío por el primer intervalo y se queda relleno por el segundo intervalo. Como tampoco es común a los dos intervalos, queda abierto por la derecha.
La intersección de ambos intervalos nos queda entonces:
Intersección de intervalos separados
Vamos a ver cómo calcular la intersección de dos intervalos cuando estos se encuentran separados en la recta real.
Por ejemplo:
Representamos ambos intervalos en la recta real y nos queda:
En este caso, los intervalos no tienen ningún punto en común, luego la intersección de intervalos sería el conjunto vacío:
Ejercicios resueltos de operaciones de intervalos
Ejercicio 1
Realiza las siguientes operaciones de intervalos:
Ejercicio 2
Siendo A=(-∞,3], B=(-2,0] y C=[2,5), calcula:
Ejercicio 3
Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:
Solución
Ejercicio 1
Aparatado a:
Aparatado b:
Aparatado c:
Ejercicio 2
Aparatado a:
Aparatado b:
Aparatado c:
Aparatado d:
Ejercicio 3
Aparatado a:
Aparatado b:
Aparatado c:
Aparatado d:
¿Necesitas ayuda con lasmatemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja paso a paso?
Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.
He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.
Con mimétodo:
- Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
- Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión
Suena bien ¿no?
¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?
Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas.¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más:
ENSÉÑAME MATEMÁTICAS
